近日，中國科學院物理研究所/北京凝聚態物理國家研究中心的研究組發展出一套自動計算材料拓撲性質的新方法，在近4萬種材料中發現了8千余種拓撲材料，十幾倍于過去十幾年間人們找到的拓撲材料的總和，并據此建立了拓撲電子材料的在線數據庫。國際學術刊物《自然》在線發表了該成果【1】。

　　拓撲學是數學的重要分支，它的研究對象是在連續的形變下空間的不變性。比如，一個物體上面有多少洞（是指貫穿前后的洞，不是坑），這個洞的數目就是在連續形變下的一個不變量。因為具有相同的“洞數”（學名是“歐拉數”），一個有把兒的茶杯可以連續地變成一個游泳圈，而不可以連續地變成一個球。在上世紀80年代對量子霍爾效應態的研究中，人們認識到，就像幾何形體一樣，固體中電子的波函數也具有這樣的“拓撲不變量”，稱為“陳數”（因數學家陳省身得名）；對于量子霍爾效應態而言，陳數直接對應了量子化的霍爾電導。由于電子的波函數生活在無窮維的希爾伯特空間，人們無法像歐拉數那樣直觀地去理解陳數，但是它們之間確實有一些共性。首先，它們都是分立取值的：無法想象有1.5個洞的形狀，也不存在陳數為分數的電子波函數；再者，它們在連續形變下都是不變的：量子化的霍爾電導對外界的擾動是如此穩定，以至于可以用它來校準歐姆這個國際單位。

　　對于電子波函數中的拓撲，上一次認識的飛躍出現在2005年前后。在一系列理論工作中，人們意識到，除了陳數之外，對稱性可以帶來新的拓撲不變量。具有這些新的拓撲不變量的絕緣體，后來被稱為“拓撲絕緣體”。拿幾何形狀做類比，如果說人們之前所理解的簡單絕緣體是一個球的話，拓撲絕緣體就是游泳圈（有一個洞）。而帶給我們這個新的拓撲不變量的對稱性，是時間反演不變性（時間反演不變性等同于要求體系沒有磁性，也沒有外加磁場）。拓撲絕緣體被發現沒多久，人們就意識到，“時間反演不變性能夠帶來新的拓撲不變量”這一事實，不過是一大類普遍現象的冰山一角：對于幾乎任何常見的對稱性，比如晶體中的平移、鏡面反射、旋轉……都有可能存在其對應的新的拓撲不變量。尋找自然界中新的拓撲不變量，以及具備這些拓撲不變量的材料，是過去十幾年中凝聚態物理研究中的熱點問題。

　　認識到電子的波函數可能具有某種特殊的拓撲結構，固然是物理理論的一大進展，但是跟實際生活有多大聯系呢？一般認為，拓撲材料的邊界態具有“背散射通道禁閉”等特點，可以用來制作超低能耗的電子元件；有人利用拓撲材料邊界態電子的“動量-自旋鎖合”的特點設計自旋電子器件；還有人設想利用拓撲超導體邊界的“馬約拉那零模式”來設計量子比特……因此，研究拓撲材料，或者說具有非零的拓撲不變量的材料，具有基礎科學和應用技術的雙重意義。

　　要研究拓撲材料，第一步就是要將它們從浩如煙海的化合物中尋找出來。究竟具有什么樣的化學式，擁有哪樣的晶體結構的材料，才會有非零的拓撲不變量呢？這個問題長期困擾著領域內的科學家。從原理上講，拓撲不變量的信息已經包含在了所有價帶的電子波函數中，而后者可以用第一性原理計算的方法得到。但在實際操作中，由于某些拓撲不變量的表達式非常繁難，此類計算需要具有深厚材料物理和拓撲物理學背景的專家，同時也會耗費大量的時間。事實上，每一類新的拓撲材料的成功預言，都在領域內引起廣泛關注。在“艱難搜索”拓撲材料的過程中，多數科學家在直覺上認為拓撲性質在自然界中是罕見的，需要構成原子的外層電子軌道、晶體結構、自旋軌道耦合等因素的巧妙平衡。

　　2017年，“拓撲量子化學”【2】和“對稱性指標理論”【3】的提出，讓人們看到了在上述“土法煉鋼”方法之外尋找拓撲材料的可能性。這兩項工作表明，關于一個能帶系統的拓撲不變量的信息，有一大部分其實已經蘊含于高對稱動量點的價帶電子波函數的對稱性之中；而后者——稱之為能帶的對稱性數據，人們知道是可以通過全自動的方法計算得到的。根據這個理論，人們可以通過計算任何材料的對稱性數據來判斷它是否具有拓撲性質。這是計算預言拓撲材料方法的重大突破。

　　2017年底，物理所研究員方辰、方忠、博士研究生宋志達（現普林斯頓大學博士后）、張田田在上述工作的基礎上更進一步，得到了從對稱性數據到所有拓撲不變量的完整對應【4，5】。簡單來說，拓撲材料又分為拓撲絕緣體、拓撲半金屬、拓撲晶體絕緣體等，它們每一類中又按不同的拓撲不變量的取值有著進一步的分類；而只有這些更細致的分類，才能表達材料全部的拓撲性質。根據物理所研究組的新理論，不僅可以判斷一個材料是否具有拓撲性質，還能指出具備（不具備）哪些拓撲性質。該研究組將此成果稱為“拓撲詞典”，其中對稱性數據是“詞”，拓撲不變量的取值是“義”。根據這本“詞典”，人們只需計算出任何材料的對稱性數據，就可以查出它的拓撲不變量來。

　　在“拓撲詞典”出版后，接下來需要做的事情就是根據新的理論設計一套全自動判別拓撲材料并計算拓撲不變量的算法，然后用它來以全自動的方式尋找新的拓撲材料。2018年初，研究員方辰與翁紅明、方忠，以及博士研究生張田田、蔣毅、宋志達組成了研究團隊，設計出了自動計算材料拓撲性質的全流程。在這套流程中，通過一系列的邏輯判斷，給了每一種材料一個“拓撲標簽”。這個標簽是以下8個之中的一個：“高對稱點半金屬”、“高對稱線半金屬”、“一般動量點半金屬”、“拓撲絕緣體”、“拓撲晶體學絕緣體”、“磁性材料”、“普通金屬”和“普通絕緣體”。其中，前五個標簽表示該材料是拓撲材料，后三類為非拓撲材料（或者叫無法判別其拓撲性質的材料）。對于每類拓撲材料他們又進行了細分。研究小組掃描了共計約40000種無機晶體材料，并發現其中約8000種是拓撲材料。由于計算的所有材料都是曾經在實驗上合成過的，這也就意味著世界上存在著起碼8000余種具有拓撲性質的實際材料——這與之前人們認為拓撲材料是特殊的和稀有的直覺大相徑庭。用全自動算法得到的這8000余種材料，不僅包括了幾乎所有前人用老方法在十幾年間找到的拓撲材料，還包括了大量的新拓撲材料，這些材料的拓撲性質之前從未被研究過。

　　如何將這些結果呈現給科學界呢？對于每一種拓撲材料，不僅需要給出化學式、原子結構、對稱性指標、拓撲分類等關鍵信息，還應該給出計算出的電子態密度以及能帶結構等參考信息。如此多的內容，沒法像一般的科技論文一樣把它們全都寫進一篇文章中（那樣文章或許會達到10000頁之長）。物理所的研究組與中科院計算機網絡信息中心高性能計算部副研究員黃荷和碩士研究生賀雨晴合作，將所有這些信息做成了可搜索的、有交互界面的數據庫。在這個數據庫中，用戶可以隨意點選元素周期表中的一個或幾個元素，然后它就可以列出所有含有這幾種元素的拓撲材料以及它們各自的分類信息。繼而點開任何一種材料，在出現的新頁面中可以看到原子結構、態密度和能帶結構等進一步的詳細信息。這是世界上首個包含了完整拓撲性質的材料數據庫，作者們將它命名為“拓撲電子材料目錄”。有了這份目錄，任何人都可以查出他/她所感興趣的材料是否具有拓撲性質，以及具有哪些拓撲性質。物理所和計算機網絡信息中心的研究小組以《拓撲電子材料目錄》為題目共同撰文，詳述了計算材料拓撲性質的算法以及用該算法所得到的拓撲材料數據庫。文章于2018年7月23日公布在預印本平臺arXiv，數據庫同日開放（http://materiae.iphy.ac.cn）。文章后經同行評議，于近期在線發表在《自然》上。

　　另有兩個研究小組，也于同一天同一刊物上發表了他們的獨立研究成果【6，7】。其中一個小組是來自美國的普林斯頓大學、西班牙巴斯克大學和德國馬克斯-普朗克研究所的科學家，另一小組是來自南京大學和美國哈佛大學的科學家。他們兩個小組的工作內容，同樣是通過計算能帶高對稱點的對稱性數據從而得到材料的拓撲性質，方法和物理所研究小組采用的方法一致，三個研究組得到的結果也彼此相洽、相互印證。

　　該研究工作得到科技部重點研發計劃、國家自然科學基金、中科院科研信息化項目和先導項目等的支持。

　　相關論文： 

　　【1】Zhang, T., et al. Catalogue of Topological Electronic Materials. Nature 566, 475 (2019)

　　【2】Bradlyn, B., et al. Topological quantum chemistry. Nature, 547(7663), 298 (2017)

　　【3】Po, H. C., Vishwanath, A., & Watanabe, H. Symmetry-based indicators of band 343 topology in the 230 space groups. Nature Communications, 8(1), 50 (2017)

　　【4】Song, Z., Zhang, T., Fang, Z., & Fang, C. Quantitative mappings between 345 symmetry and topology in solids. Nature communications, 9(1), 3530 (2018)

　　【5】Song, Z., Zhang, T., & Fang, C. Diagnosis for Nonmagnetic Topological 353 Semimetals in the Absence of Spin-Orbital Coupling. Physical Review X, 8(3), 354 031069 (2018)

　　【6】Vergniory, M. G., Elcoro, L., Felser, C., Bernevig, B. A. & Wang. Z. A complete catalogue of high-quality topological materials. Nature 566, 480 (2019)

　　【7】Tang, F., Po, H. C., Vishwanath, A. & Wan, X. Comprehensive search for topological materials using symmetry indicators. Nature 566, 486 (2019)

　　圖1：知名的一些拓撲材料。（a）量子反常霍爾效應態也叫陳絕緣體。其特點是霍爾電導的值為e2/h的整數倍，同時邊界上有一個或數個單向行走的邊界態，它們被稱為手性邊界態。量子反常霍爾效應在磁性原子摻雜的三硒化二鉍薄膜中的發現，引起了國際學術界的轟動，該系列成果還榮獲2018年度國家自然科學一等獎。（b）外爾半金屬。其特點是材料體內的費米面由一系列“外爾點”（紅色和藍色的點）組成，每個外爾點都是貝里曲率的奇異點，可以帶來“量子反常”、“表面費米弧”等物理效應。外爾半金屬在砷化鉭體系中的理論、實驗發現，被美國物理學會評選為125年來該學會旗下雜志發表的49項重要成果之一。

　　圖2：“拓撲詞典”的使用方法。對于給定的材料（上為碲化錫，下為三磷化鈣），先通過第一性原理計算軟件獲得所有的對稱性數據（symmetry data），這個對稱性數據就是科研人員要查的“詞”。接下來由對稱性數據，先轉換成“對稱性指標”，再進而得到所有可能的拓撲不變量（即詞典中的“義”）。注意，對于弱自旋軌道耦合的體系（如下面一排），該詞典給出的“義”則是拓撲能帶交點在動量空間的可能構型。

　　圖3：文獻【1】中所使用的自動計算任意晶體材料的自動化流程。其中棱形的綠色模塊表示邏輯判斷，而平行四邊形的橙色模塊則代表輸出結果。根據這一流程，對于任何一個材料，都會得到一個確定的“標簽”，這個標簽告訴人們這一材料是否屬于拓撲材料，以及屬于哪一種拓撲材料。這里對于任何材料，文獻【1】都分別考慮了有自旋軌道耦合和無自旋軌道耦合兩種設置，這是與文獻【6，7】有所區別之處。

　　圖4：中科院物理所-中科院計算機網絡信息中心合作建立的在線數據庫（Materiae），在元素周期表中點選材料，在左邊輸入（可選）篩選條件，然后按下搜索鍵即可得到含有這些元素的所有拓撲材料的列表。該網站的網址為http://materiae.iphy.ac.cn 。